Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 5204
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non al ...
exo7 5208
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites sécantes d’équation respectives ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5322
Soit \(E\) la partie de \(\Cc[X]\) formée des polynômes ...
exo7 5339
Montrer que \((\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}\) est libre dans \(K(X)\).
exo7 5361
Dans \(E=\Rr^n\), on considère l’hyperplan \(H\) d’équation ...
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5502
Dans \(E_3\) rapporté à un repère \((O,i,j,k)\), on donne : la droite ...
exo7 5505
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer un repère de la droite \((D)\) ...
exo7 5506
Dans \(\Rr^3\), déterminer l’intersection de \((D)\) ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5508
Dans \(\Rr^3\), équation du plan \(P\) parallèle à la droite ...
exo7 5509
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5510
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5511
Système d’équations cartésiennes de la droite \((\Delta)\) parallèle à la droite ...
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5513
Dans \(\Rr^3\) euclidien rapporté à un repère orthonormé, on donne \(A(2,-2,0)\), ...
exo7 5515
Dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé, soient \((D)\) ...
exo7 5516
Montrer que les plans \((P_1)\) : \(z-2y=5\), ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).
exo7 5518
Soient \((P_1)~:~4x+4y-7z-1=0\) et \((P_2)~:~8x-4y+z+7=0\). Trouver une équation ...
exo7 5519
Déterminer la perpendiculaire commune aux droites \((D)\) et \((D')\) : ...
exo7 5520
Soient \((D)\) la droite dont un système d’équations cartésiennes est ...
exo7 5522
Déterminer la distance de l’origine \(O\) à la droite \((D)\) dont un système d’é ...
exo7 5548
Soit, dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé ...
exo7 5550
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5563
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5567
Montrer que \((1,\sqrt{2},\sqrt{3})\) est une famille libre du \(\Qq\)-espace vec ...
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 5569
Soit \(f_a(x)=|x-a|\) pour \(a\) et \(x\) réels. ...
exo7 5570
On pose \(f_a(x)=e^{ax}\) pour \(a\) et \(x\) ré ...
exo7 5572
\(E=\Rr_n[X]\). Pour \(0\leqslant k\leqslant n\), on pose ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5575
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimen ...
exo7 5576
Soient \(F\), \(G\) et ...
exo7 5577
Soient \(F_1\), \(F_2\),..., ...
exo7 5578
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 5579
Soient \((x_1,..,x_n)\) une famille de \(n\) vecteurs de rang ...