Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Effet de la normalisation sur le gradient
On dispose de deux exemples \(x^{(1)} = 1000\) et \(x^{(2)} = 2000\). La normalis ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1007
Montrer que les systèmes \({\mathbf s}_1= (1,\sqrt2)\) et ...
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 109
Dans \(\R^2\), on définit les ensembles \(F_{1}=\{(x,y)\in\R^2,\ y\leq0\}\) et ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 131
\(x\), \(y\), \(z\) étant des nombres réels, rés ...
exo7 135
On définit les cinq ensembles suivants : ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1450
A deux polynômes \(P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}\) et \(Q=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}\) d ...
exo7 1451
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1453
Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...
exo7 1454
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur ...
exo7 1455
Soient \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) appartenant à ...
exo7 1456
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1457
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1458
Soient \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel non nul, ...
exo7 1459
Soient \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1460
Montrer que ...
exo7 1461
Rappeler l’énoncé de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Montrer que pour toute fonction continue d’un segment ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1464
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1465
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\) des
réels positifs.
Montrer que ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1467
Soit \(E\) un espace euclidien, et \(\left( e_{1},...,e_{n}\right)\) des vecteurs ...
exo7 1468
Montrer que sur \(M_{n}({\Rr})\) l’application : ...
exo7 1469
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1470
Soit \(E\) un espace euclidien, montrer que : ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1472
On munit \({\Rr}[X]\) du produit scalaire : ...
exo7 1473
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1474
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1475
Montrer que l’application \((A, B)\mapsto tr({}^t\! AB)\) de ...
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1481
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 1482
Dans \(\R ^3\) muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le ...
exo7 1493
Résoudre l’équation \((1-x)^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + z^2 = \frac{1}{4}\) pour ...
exo7 1496
Soit \(A = \left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&1\\1&1&2\end{array}\right)\). Montrer que ...
exo7 1497
Soient \(E = \R_n[X], I_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} t^ne^{\frac{-t^2}{2}}dt\).
exo7 1499
\(\Rr^3\) est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs ...
exo7 1501
On munit le \(\Rr\)-espace vectoriel \(\Rr_2[X]\) du produit scalaire défini par ...
exo7 1502
Soit \(f:\Rr^3\times\Rr^3\to \Rr\) définie de la manière suivante : si ...
exo7 1503
Orthonormaliser dans \(\Rr^{3}\) la famille \(x_{1} = (1, -2, 2)\), ...
exo7 1504
Déterminer une base orthonormée de \(\Rr_{2}[X]\) muni du produit scalaire ...
exo7 1505
On considère la forme bilinéaire \(b\) de \(\R^{4}\) définie par : ...