Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Nombres réels et suites numériques
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L’objectif de cette section est de donner une base solide à l’étude des suites réelles, notamment les suites définies par une relation de récurrence.
Dans l’étude des suites, on distingue nettement les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
- a) Propriété de la borne supérieure 74
- b) Généralités sur les suites réelles 112
- c) Limite d’une suite réelle 324
- d) Suites monotones 64
- e) Suites extraites 34
- f) Suites complexes 11
- g) Suites particulières 126
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 658
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 669
Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 680
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que pour chaque ...
exo7 684
En étudiant la suite \(u_0 \in \Rr\) et \(u_{n + 1} = \cos (u_n)\), déterminer u ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 7013
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...
exo7 7014
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...
exo7 7015
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=1\), ...
exo7 7016
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=1\), ...
exo7 7021
Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...
exo7 7022
On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=2\) et pour tou ...
exo7 7040
On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel ...
exo7 7042
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=2\), ...
exo7 7043
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
exo7 7151
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note ...
exo7 7154
Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit ...
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 837
Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).
exo7 839
Soit \(a_{n} = \int_0^1 t^n e^t dt\).
exo7 841
Calculer : ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 844
Calculer les limites suivantes :
exo7 926
Soit \[E=\big\{(u_{n})_{n\in \Nn}\in \Rr^{\Nn}\ |\ (u_{n})_{n} \text{ converge }\big\}.\] Montrer que l’ensembl ...
Expressions en fonction de $n$
Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour les suites suivantes ...
Justifications
Les suites suivantes sont elles arithmétiques ? géométriques ?
La cellule LSTM à la main
Une cellule LSTM maintient deux vecteurs d’état : la cell state \(c_t \in \mathbb{R}\) et l’état caché ...
Limite d'une suite dans $\R^2$
Pour tout \(k \in \N\), on pose ...
Limites
Déterminer les limites des suites suivantes (sans utiliser les équivalents ou négligeabilités).
Limites d'un polynôme ou de fraction rationnelle
Déterminer la limite (si elle existe) de chacune des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un produit
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un quotient
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites de somme
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Majoration, minoration
Déterminer si les suites suivantes sont majorées, minorées, ou bornées.
La suite \(u\) définie par ...
Monotonie et limite I
On considère la suite \((u_n)\) définie par : ...
Monotonie et limite II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}^{2}}{1+5u_{n}}\) et ...
Suite récurrente I
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
Suite récurrente II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et ...