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Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

On considère les deux suites : \[u_n =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\ ;\ n\in\N,\] ...

Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a<b\). On ...

Soient \(a,b > 0\). Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\).

Soit \(x\) un réel.

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Soit \(n \geq 1\).

Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...

Soient \(a_0\) et \(b_0\) deux réels fixés. On définit par récurrence les suites ...

Soit \((u_n)\) une suite qui tend vers \(0\). On pose ...

Déterminer les limites de \(\dfrac{n^{\ln (n)}}{\ln^n (n)}\) et \(\sqrt[n]{n^2}\) ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn\text{ }}\) une suite réelle dont tous les termes sont non nuls et telle que : ...

Étudier la suite définie par récurrence : \[u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}\]

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...

Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) bijective, telle que ...

Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) injective; montrer que ...

Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).

Soit \(u\) une suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie ayant une unique valeur d’adhérence. Mo ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée. On pose \(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\) et ...

Calculer \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}\). ...

Soit \(z\) un nombre complexe. Déterminer ...

On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...

Déterminer ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle convergeant vers \(\ell\) et ...

Déterminer ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites à valeurs dan ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites convergeant r ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée telle que : ...

Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...

Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...

Montrer que si \(\forall n \in \Nn\) \(u_n \neq 0\) et si ...

Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles de li ...

Étude de \((u_{n})_{n\in \Nn }\) définie par : ...

Soit \(x\) un réel.

Montrer la réciproque du théorème de Césaro (i.e. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=l\)) :

Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...

Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par \(u_{0}=1\) et ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) la suite définie par \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}.\) L’é ...

Soient \(f\) et \(g\) deux formes linéaires sur un espace vectoriel ...

Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...

On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).