Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles. | |
Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ sur un pavé ouvert du plan. | Dans un énoncé on ne demandera jamais de montrer qu’une fonction est de classe $\mathscr{C}^1$. Utilisation des dérivées partielles premières pour évaluer une petite variation de la valeur d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ découlant de petites variations sur les variables. |
Définition du gradient ; calcul dans un repère orthonormal en coordonnées cartésiennes. Dérivation d’une expression de la forme $t \mapsto f(x(t), y(t))$, la fonction $f$ étant de classe $\mathscr{C}^1$ et les fonctions $x$, $y$ étant dérivables. | On pourra donner sans démonstration l’interprétation graphique du gradient. |
Définition de point critique. Lien avec l’existence éventuelle d’extremum dans le cas d’une fonction définie sur un pavé ouvert et admettant des dérivées partielles. | Toute condition suffisante d’extrémalité est hors programme. Application à l’ajustement affine par les moindres carrés. |
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4204
Soit \(U\) l’ouvert de \({\R^2}\) : ...
exo7 4205
Résoudre sur \({\R^2} \setminus \{(0,0)\}\) : ...
exo7 4206
Soit \(f : U \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant : ...
exo7 4208
Soit \(\Omega = \{ (x,y) \in {\R^2} \text{ tq } (x,y) \ne (0,0) \}\), et ...
exo7 4209
Résoudre l’équation : ...
exo7 4210
Soient \(a,b,c \in \R\) non tous nuls. On considère l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4212
Soit \(g : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4213
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On pose ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4216
Pour \((x,y) \in {\R^2}\), on pose \(u = x^2-y^2\), ...
exo7 4217
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4219
Trouver les fonctions \(g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R\) de classe ...
exo7 4343
On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4547
Pour \(y\in\R\) et \(n\in\N^*\), on pose ...
exo7 5051
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation ...
exo7 5057
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation cartésienne \(z=f(\rho)\) où ...
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5556
Soit ...
exo7 5558
Trouver les extrema locaux de
exo7 5559
Maximum du produit des distances aux cotés d’un triangle \(ABC\) du plan d’un point ...
exo7 5561
Trouver toutes les applications \(\varphi\) de \(\Rr\) dans ...
exo7 5562
Trouver toutes les applications \(f\) de \(\Rr^2\) dans ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5767
Pour \(x\in\Rr\), on pose \(F(x)=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\;dt\) ...
exo7 5888
Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5889
Soit ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5894
Extremums des fonctions suivantes :
exo7 5898
Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes :
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 5905
Soit \(f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2\) de classe \(C^2\) dont la différentielle en to ...
exo7 6290
Trouver les applications \(G: \Rr^2 \to \Rr\) de classe \(C^2\) telles que ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6293
Vérifiez que les fonctions suivantes sont harmoniques dans \(\Rr^2\) :
exo7 6294
Exprimez en coordonnées polaires : ...
exo7 6295
Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des ...
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).
exo7 6304
Ecrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de (0,0) pour la fonction ...
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6307
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel \(\lambda\), la nature des extremums de la fonction ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).