Programme de mathématiques MP, MPI
b) Solutions d’une équation différentielle linéaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de Cauchy linéaire : existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. | La démonstration n’est pas exigible. Adaptation aux systèmes différentiels linéaires. |
Cas des équations scalaires d’ordre $n$. Cas des équations homogènes : l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}(I,E)$. Pour $t_0$ dans $I$, l’application $x\mapsto x(t_0)$ est un isomorphisme de cet espace sur $E$. Dimension de l’espace des solutions. Cas des équations scalaires homogènes d’ordre $n$. Structure de l’ensemble des solutions d’une équation avec second membre. | |
Exemples d’équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2 non normalisées : $a(t)\,x'+b(t)\,x=c(t),\quad a(t)\,x''+b(t)\,x'+c(t)\,x=d(t).$ | Exemples de recherche de solutions développables en série entière. |
exo7 6322
On considère l’équation différentielle \(x'=|x|+|t|\);
exo7 6323
On considère l’équation différentielle \(x'= |x|+|t|\).
exo7 6327
On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6329
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de ...
exo7 6332
Soit \(f\) une application \(K\)-lipschitzienne sur un ouvert ...
exo7 6333
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6341
Trouver la solution générale de l’équation \(y^{(4)}+y=0\) sous forme réelle. On admet que la fonction ...
exo7 6346
Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6354
Trouver toutes les solutions périodiques de l’équation \(x^{(4)} + 2x'' + x = 0\).
exo7 6357
On considère les équations ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 6822
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) on considère le système ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6829
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2,xy)\).
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 864
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
exo7 865
Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 871
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 883
Montrer que toute solution de \(y''(x)e^{-x^{2}}+y(x)=0\) est bornée sur ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
Résolution d'équation différentielle
Exprimer sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Solution d'équation différentielle développable en série entière
Trouver sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...