Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 388
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 285
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 686
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes
...
exo7 6864
Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
exo7 6865
Calculer les primitives suivantes par changement de variable.
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 6867
Calculer les intégrales suivantes :
exo7 689
En étudiant les variations de la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 6976
Soit \(x\) un réel fixé. Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 6977
Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 6981
Représenter les courbes d’équation cartésienne \(y=f(x)\), donner l’équation de leur tangente au point d’abscisse ...
exo7 699
Déterminer \(a,b \in \Rr\) de manière à ce que la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 6991
Résoudre sur \(\R\) les équations différentielles suivantes:
exo7 6992
Déterminer toutes les fonctions \(f:[0;1]\to\R\), dérivables, telles que ...
exo7 6993
Résoudre l’équation différentielle \((x^2+1)y'+2xy=3x^2+1\) sur \(\R\). Trace ...
exo7 6994
Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante :
exo7 6995
On considère l’équation différentielle \[y'-e^xe^y=a\] Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement l ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 6997
Résoudre
exo7 6998
On considère \(y''-4y'+4y=d(x)\). Résoudre l’équation homogène, puis trouver une solution particulière ...
exo7 6999
Résoudre sur \(]0;\pi[\) l’équation différentielle ...
exo7 7000
Résoudre les équations différentielles suivantes à l’aide du changement de variable suggéré.
exo7 701
Calculer la fonction dérivée d’ordre \(n\) des fonctions \(f,g,h\) définies par : ...
exo7 7032
Soient \(a, b, c\) trois réels et \(f : \R\to \R, \: x\mapsto ae^x+bx+c\). On sup ...
exo7 704
Etudier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des applications suivantes : ...
exo7 705
Calculer les dérivées des fonctions :
exo7 706
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
exo7 710
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...
exo7 712
Calculer la dérivée de \(x\rightarrow \ln \cos (\pi +\frac{x^{2}-1}{ x^{2}+1}).\)
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 728
Soit \(f: \Rr \longrightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = (1-k)^3x^2+(1+k)x^3\) où ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...