Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
B - Déterminants
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Les objectifs de cette partie sont les suivants :
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des matrices carrées et des endomorphismes ;
- indiquer quelques méthodes simples de calcul de déterminants.
- a) Formes $n$-linéaires alternées 5
- b) Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base 47
- c) Déterminant d’un endomorphisme 5
- d) Déterminant d’une matrice carrée 260
- e) Calcul des déterminants 133
- f) Comatrice 16
exo7 5371
Soit ...
exo7 5372
Calculer \(\mbox{det}(\mbox{com}A)\) en fonction de \(\mbox{det}A\) puis étudier ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...
exo7 5374
Calculer
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5378
Résoudre le système : \(x_1+x_2=0\), \(x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0\) pour ...
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5380
Déteminer l’inverse de \(A=(a_{i,j})\) telle que \(a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1\) et ...
exo7 5491
\(\mathcal{B}\) est une base orthonormée directe de \(\Rr^3\) donnée. Montrer que ...
exo7 5492
Soit \(\mathcal{B}\) une base orthonormée de \(E\), espace euclidien de dimension ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5607
Rang de la matrice \((i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
exo7 5614
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). Cal ...
exo7 5615
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...
exo7 5635
Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) une matrice carrée et ...
exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5637
Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...
exo7 5638
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5639
Résoudre le système \(MX = U\) où ...
exo7 5640
Calculer \(\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),... ...
exo7 5641
Calculer \(\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5642
Calculer \(\text{det}((a+i+j)^2)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a\) est un co ...
exo7 5643
Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5645
Soient \(a_{i,j}\), \(1\leqslant i,j\leqslant n\), ...
exo7 5646
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles de format ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5648
Soit \(A\) une matrice carrée complexe de format \(n\) ( ...
exo7 5649
Soient \(a_0\), ... , \(a_{n-1}\) ...
exo7 5650
Calculer les déterminants suivants :
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5657
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5661
Soit ...
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5669
Pour \(\sigma\in S_n\), \(n\geqslant 2\), on définit la matrice ...
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5681
Trouver \(A\) dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que la comatrice de ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si