Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Matrices
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et la relation d’équivalence qui s’en déduit sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ;
- introduire brièvement la relation de similitude sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
exo7 5622
Soient \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) et \(B\) l’élément de ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5625
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de format ...
exo7 5626
Soient ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5634
Rang du système de formes linéaires sur \(\Rr^4\)
...
exo7 5648
Soit \(A\) une matrice carrée complexe de format \(n\) ( ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5776
Soit \(\Phi\) l’application qui à deux matrices carrées réelles \(A\) et ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5813
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu’il exis ...
exo7 5857
On munit \(E=\mathcal{M}_n(\Rr)\) de la norme \(N\) définie par ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 7033
Soient \(a_1 ,...,a_n\) des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins ...
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7412
Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit ...
exo7 7419
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7449
Dans le plan euclidien orienté \(\mathcal{P}\), on considère deux demi-droites ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7492
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7608
On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de ...
exo7 7613
On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de ...
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 895
Montrer que \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 /x + y + z = 0 \text{ et } 2x-y + 3z = 0\right\}\) est un sous-espace ve ...
exo7 898
Les familles suivantes sont-elles libres ?