Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
exo7 4849
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4852
Montrer qu’un plan euclidien n’est pas réunion de cercles disjoints non réduits à un point.
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4858
Soit \(f : {I\subset \R} \to {\R^2}\) une fonction continue, \(D\) une droite de ...
exo7 4871
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4886
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4887
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 492
Soient \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) et \(y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n\). On note ...
exo7 4948
Soient \({\cal T}_1\), \({\cal T}_2\) deux torseurs de sommes ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 502
Soient \(A\) et \(B\) deux parties denses de ...
exo7 505
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) une suite de \(\R\). Que pensez-vous des propositions sui ...
exo7 506
Montrer que toute suite convergente est bornée.
exo7 5243
Soit \((u_n)=\left(\frac{p_n}{q_n}\right)\) avec \(p_n\in\Zz\) et ...
exo7 5385
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5839
Montrer que la boule unité d’un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace.
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 5841
Soit \(E = C^2([0,1],\Rr)\). Pour \(f\) élément de ...
exo7 5844
Soient \(A\) et \(B\) des parties d’un espace vecto ...
exo7 5845
Trouver une partie \(A\) de \(\Rr\) telle que les sept ensembles ...
exo7 5846
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des fonctions continues sur ...
exo7 5847
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).
...exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 5849
Soit \(u\) une suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie ayant une unique valeur d’adhérence. Mo ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 5860
Soit \(N\) une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 5861
Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...
exo7 5863
Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...
exo7 5864
Déterminer ...
exo7 5867
On munit \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) d’une norme sous-multiplicative notée \(\|\;\|\). ...
exo7 5887
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes :
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 6056
Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe.
Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une application ...
exo7 6057
On considère dans \({\Rr}^2\), les deux applications ...
exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6059
Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6088
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...