Programme de mathématiques PSI
A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices
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Le programme est organisé autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts préliminaires à la réduction des endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, somme directe, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, polynômes interpolateurs de Lagrange ;
- passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques et préconise l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.
- a) Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels 20
- b) Matrices par blocs et sous-espaces stables 39
- c) Trace 30
- d) Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées 90
- e) Interpolation de Lagrange 18
exo7 5364
Calculer :
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5577
Soient \(F_1\), \(F_2\),..., ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5622
Soient \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) et \(B\) l’élément de ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5624
Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
...exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5637
Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...
exo7 5638
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5659
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5660
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soien ...
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5857
On munit \(E=\mathcal{M}_n(\Rr)\) de la norme \(N\) définie par ...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 925
Soient \(U, V, W\) des s.e.v. d’un e.v. \(E\), vérifiant ...
exo7 934
Soit \(E\) un espace vectoriel et soient \(E_1\) et ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 995
Problème de l’interpolation : soit les cinq points \((x_1,y_1)=(-2,3)\), ...
Inversibilité de matrices
Soit la matrice ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...