Programme de mathématiques PSI
d) Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Polynôme d’un endomorphisme, d’une matrice carrée. | Relation $(PQ)(u) = P(u) \circ Q(u)$. |
Polynôme annulateur. | Application au calcul de l’inverse et des puissances. |
Deux polynômes de l’endomorphisme $u$ commutent. Adaptation de ces résultats aux matrices carrées. | Le noyau de $P(u)$ est stable par $u$. |
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1581
Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\C)\) de trace non nulle. Montrer que toute matrice ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1592
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1676
que \(f^3+f^2+f=0\) où \(E\) est un \(\Rr\)-espa ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1700
Soit \(A\in M_3 (\R )\) telle que \(A^3=-A\) et ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1722
Donner un exemple de deux matrices de \(\mathcal{M}_4(\Rr)\) ayant même polynôme caractéristique et même polynôme ...
exo7 1725
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2472
Soient \(u, v\) deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe \(E\). On supp ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2596
Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...