Programme de mathématiques PSI
B - Endomorphismes d’un espace euclidien
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Cette section vise les objectifs suivants :
- étudier les isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux et trois en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3 34
- d) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- e) Isométries d’un espace euclidien de dimension 3 53
- f) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5793
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5797
Trouver tous les endomorphismes de \(\Rr^3\) vérifiant ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5802
Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace euclidien de dimension \(n\) qui conserve ...
exo7 5803
Soit \(P\) le plan de \(\Rr^4\) d’équations ...
exo7 5805
\(O_n(\Rr)\) est-il convexe ? \(O_n(\Rr)\) contient-il trois points alignés?
exo7 5813
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu’il exis ...
exo7 5838
Equation du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) d’axe la droite d’équations ...
exo7 5871
Soit \(\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3\). Pour \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), on ...
exo7 6180
On considère dans \(M_n(\Rr)\) le sous-ensemble des matrices de déterminant égal à ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6385
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).
exo7 6387
Soit \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\). Montrer que ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6389
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine et \(\tau_l\) la réflexion par rappo ...
exo7 6390
Notons \(R(a,\alpha)\) la rotation d’angle ...
exo7 6391
Une application du type \(G(l,a)= \tau _l. t_a\) s’appelle réflexion glissée si le vecteur ...
exo7 6392
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine de \(\Rr^2\).
exo7 6394
Etudier la composée de deux rotations, puis la composée de deux réflexions glissées et finalement la composée d’une rotation et d’une réflexion gli ...
exo7 6395
Soit \(f\) une application qui préserve les rapports de longueur : ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 6397
Soient \(f\), \(g\) deux isométries du plan affine euclidien ...
exo7 6415
On considère l’application \(\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).\) Montrer que ...
exo7 6416
Si \(q\in S^3\) tel que \(q=\cos\theta + I\sin\theta,\ I\in S^2,\) alors montrer ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7079
À quelle condition sur quatre points \(P_1, ... P_4\) existe-t-il une homothétie ...
exo7 7105
Sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) d’un carré direct ...
exo7 7108
Soit \(BOA\) un triangle indirect quelconque, \(OAC\) et ...
exo7 7109
Soit \(BOA\) un triangle indirect isocèle en \(O\), ...
exo7 7111
On considère trois droites parallèles \(D_1\), \(D_2\) et ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7116
Soit un quadrilatère convexe \(ABCD\). Les points \(E\), ...
exo7 7122
Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les cotés opposés sont deux à deux de même longueur. Soit ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...
exo7 7153
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et non isocèle. La médiatrice de ...
exo7 7155
Soit \(ABC\) un triangle direct non rectangle isocèle, et soit \(P\) (resp. ...
exo7 7156
Soient \(M\), \(M_1\), \(M_2\), ...
exo7 7157
Soit \(\mathcal S \subset \R^2\) le graphe de la fonction sinus. Décrire les isométries de ...
exo7 7158
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle et soit \(g\) une isométrie de ...
exo7 7159
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...
exo7 7160
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...