Programme de mathématiques PT
B - Fonctions de deux ou trois variables
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Cette section est consacrée aux fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ pour $p = 2$ ou $3$, sauf dans le paragraphe (g). Leur étude est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie.
La notion de différentielle est hors programme.
- a) Topologie de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ 64
- b) Limite et continuité 96
- c) Dérivées partielles d’ordre 1 0
- d) Dérivées partielles et composées 3
- e) Dérivées partielles d’ordre 2 3
- f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ 9
- g) Fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ ($p \leqslant 3$, $n \leqslant 3$) 61
exo7 1798
Soit ...
exo7 1799
Soit ...
exo7 1800
Soit la fonction \(f \colon \R^{2} \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 1805
Soit \(f\) la fonction définie sur \({\Rr}^{2}\) par :
si ...
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1807
Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par ...
exo7 1809
Etudier la continuité, ainsi que l’existence et la continuité des dérivées partielles premières, des fonctions suivantes :
exo7 1818
On définit la fonction ...
exo7 1837
Soit \(A\subset {\Rr}^{2},\) on définit \(\int(A)\) comme l’ensemble ...
exo7 1844
On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) l ...
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1879
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1885
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...
exo7 1887
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On ...
exo7 1891
Soit \(A\) l’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) telles que ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 1908
Représenter et calculer le volume de ...
exo7 2058
Soit \(\gamma :[0,1]\rightarrow \Cc\) continue, et \(z\in \Cc\) quelconque. Montr ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2362
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés et ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2377
Soit \(f:\Rr^n \to \Rr^n\) une application continue. Elle est dite propre si pour tout compa ...
exo7 2394
On sait que \(l^1\) est inclus dans \(l^2\) (au fait pourquoi ?) mais n’est pas f ...
exo7 2406
Soit \(X = ({\cal C}^1([0,1]),N)\) avec \(N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty\) ...
exo7 2497
Etudiez la continuité des applications suivantes:
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2500
Continuité sur \(\mathbb{R}^2\) des fonctions suivantes:
exo7 2522
Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...
exo7 2619
Soit \((A_n)\) (\(n\in\N\)) une suite de parties ouvertes de ...
exo7 2624
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=(x^2+y^2)^x\) pour ...
exo7 2626
Soit \(f\colon\R^3 \rightarrow \R\) une fonction de classe \(C^1\) et soit ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...
exo7 2647
Soit \(D\) un sous-ensemble de \(\R^n\).
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3760
\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3862
Soit \(I\) un intervalle borné et \(f : I \to \R\) uniformément continue. Montrer ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4121
Soit \(x\) la solution maximale du problème de Cauchy : ...