Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 5774
Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...
exo7 5775
On note \(E\) l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles ...
exo7 5776
Soit \(\Phi\) l’application qui à deux matrices carrées réelles \(A\) et ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5778
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \((e_1,...,e_n)\) une famille de ...
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 5780
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.
Pour \(n\in\Nn^*\) et ...
exo7 5788
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) non nulle. Soit ...
exo7 5789
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension ...
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5793
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5818
Déterminer l’orthoptique d’une parabole, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan par lesquels il passe deux tangentes à la parabole qui soient p ...
exo7 5819
(Droite de Simson) Soient \(ABC\) un triangle et ...
exo7 5820
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([AB]\). ...
exo7 5822
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5823
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5827
Démontrer que toute équation du second degré symétrique en \(x\), \(y\) et ...
exo7 5830
Trouver une équation du cône de sommet \(S\) circonscrit à la surface ...
exo7 5833
Equation cartésienne du cylindre \((\mathcal{C})\) de direction ...
exo7 5834
Equation du cylindre \((\mathcal{C})\) de section droite la courbe \((C)\) d’équa ...
exo7 5835
Equation cartésienne du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) de rayon \(R\) e ...
exo7 5836
Trouver les plans tangents à l’ellipsoïde d’équation \(x^2+2y^2+3z^2 = 21\) qui sont parallèles au plan d’équation ...
exo7 5837
Trouver les plans tangents à la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(x-8yz=0\) ...
exo7 5838
Equation du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) d’axe la droite d’équations ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 5862
On pose \(\forall X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), ...
exo7 5871
Soit \(\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3\). Pour \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), on ...
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 6059
Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6255
Soit \(H\) un espace préhilbertien sur \(\Rr\), et ...
exo7 6257
Soit \(B\) une application bilinéaire de \(E\times F\) dans ...
exo7 6310
Déterminer le point \(p\) du plan \(\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}\) q ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 6395
Soit \(f\) une application qui préserve les rapports de longueur : ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 6398
Soient \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\) deux courbes paramétrées de ...
exo7 64
Soit \(C\) la courbe d’équation \(x^2-xy+y^2 = 0\) dans le plan ...
exo7 6732
Calculer \(\int_C(z^2+3z)\ dz\) le long des chemins suivants :
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6868
Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur \(\Rr\)) :
exo7 6884
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M_0(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) ...
exo7 6988
Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe ...
exo7 6989
Étudier les courbes d’équations polaires suivantes:
exo7 6990
On considère les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) (des li ...