Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- ★ introduire la notion de déterminant d’une matrice carrée et en établir les principales propriétés.★
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5604
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) définie par \(a_{i,j}=1\) si ...
exo7 5606
Soient \(a\) un réel non nul et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 5607
Rang de la matrice \((i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
exo7 5608
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5609
On appelle idéal bilatère de l’anneau \((\mathcal{M}_n(\Kk),+,\times)\) tout sous-ensemble I de ...
exo7 5610
Soient \(a_1\),..., \(a_n\) \(n\) réels tous non ...
exo7 5612
Calculer l’inverse de ...
exo7 5613
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et ...
exo7 5615
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...
exo7 5617
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5618
Existe-t-il deux matrices carrées \(A\) et \(B\) telles que ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5625
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de format ...
exo7 5626
Soient ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5628
Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose ...
exo7 5634
Rang du système de formes linéaires sur \(\Rr^4\)
...
exo7 5635
Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) une matrice carrée et ...
exo7 5640
Calculer \(\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),... ...
exo7 5641
Calculer \(\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5642
Calculer \(\text{det}((a+i+j)^2)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a\) est un co ...
exo7 5643
Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5648
Soit \(A\) une matrice carrée complexe de format \(n\) ( ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5656
Soit \(A\) une matrice rectangulaire de format \((p,q)\) et ...
exo7 5661
Soit ...
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...