Parcourir les exercices

En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).

Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).

M ...

A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...

Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...

Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).

On pose \(u_n = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \dots + \frac 1{n!}\).

Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...

On considère la fonction \(f\) : ...

Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...

Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.

Calculer les sommes suivantes :

Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...

Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).

Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite positive telle que la série de terme général ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...

Soit \(\alpha\in\Rr\). Nature de la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...

Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...

Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...

Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).

Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :

Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...