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Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).

Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur ...

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...

Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...

Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que ...

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux et positives sur ...

Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

...

Etude complète de \(F(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}\).

Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant :  ...

Déterminer les fonctions \(f\) continues sur \([0,1]\) vérifiant ...

Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).

Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...

Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...

Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).

Etude de \(f(x)=\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\).

Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).

Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...

Soit \(f\) continue strictement positive sur \([0,1]\). Pour ...

\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

Etudier l’existence des intégrales suivantes.

Existence et calcul de :

Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).

Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...

Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...

Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...

Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...

Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...

Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...

Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...

Pour \(x\in\Rr\), on pose ...

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...

Montrer que la matrice de Hilbert ...

Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...

Montrer que \(\forall x>0\), ...

En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :

Montrer qu’une fonction monotone sur \([a,b]\) est Riemann-intégrable sur ...

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...

Montrer que, si \(f~:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : ...

Montrer que si \(f~:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) est Riemann-intégrable, alors ...

Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...

Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...

On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...

Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...

Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...

Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...

Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.

Calculer l’aire intérieure d’une ellipse d’équation : \[\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1.\]

Indica ...

Calculer les intégrales suivantes :