Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Éléments propres
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’une matrice carrée. | On appelle spectre de l’endomorphisme $f$ (respectivement de la matrice $A$) l’ensemble des valeurs propres de $f$ (respectivement de $A$). En dimension finie, on fait le lien entre les éléments propres d’un endomorphisme et ceux d’une matrice qui le représente dans une base. |
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments diagonaux de cette matrice. |
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5683
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...