Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Probabilités 4 – Variables aléatoires à densité
Rechercher dans cette partie du programme- a) Variables aléatoires admettant une densité 53
- b) Indépendance 9
- c) Espérance 36
- d) Lois usuelles 104
- e) Sommes de variables aléatoires à densité indépendantes 23
Modélisation d'une journée de marche (ATP 3-21.18, Forced Marches)
Donnée (extrait) : « A normal foot march day, under ideal conditions, is 8 hours, for 32 kilometers at a rate of 4 kilometers per hour (kph). U ...
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Moments de la loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Norme d'un vecteur gaussien et somme de variables exponentielles
Pour toute variable aléatoire \(T\), on définit la transformée de Laplace ...
Optimisation d'un stock
La demande d’un produit au cours d’une saison suit une loi normale de moyenne 5 000 et d’écart-type 1 000.
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Paramètres de la loi uniforme
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([a;b]\). Calcule ...
Production industrielle : loi normale
Le diamètre d’une pièce produite par une machine est modélisé par une variable aléatoire \(X\) suivant une loi nor ...
Propriété des fonctions de répartition
Soit la fonction \(F\) définie pour tout \(x\) réel par ...
Propriétés de la loi normale centrée réduite
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ...
Quantiles des lois d'échantillonnage au tableur
Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\), ...
Réseau de transmissions
Un poste de commandement dessert \(5\,000\) terminaux de communication (véhicules, unités mobiles, postes radio). ...
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Simulation d'une loi de Pareto
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. On considère la fonction ...
Simulation d'une loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\) e ...
Simulation de loi : Rademacher, Laplace, Géométrique
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rad ...
Simulation et fonction de répartition
Soit \(X\) une variable aléatoire et soit \(F\) sa fonction de répartition. On su ...
Simuler la loi d'une moyenne
Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) désigne le quantile de la loi ...
Suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Surbooking
Pour un vol aérien, il arrive fréquemment que le nombre de réservations soit supérieur au nombre passagers présents dans l’avion. Pour compenser ce ...
Surbooking militaire
Lors d’une opération de transport aérien stratégique, un avion militaire peut transporter au maximum 300 soldats. Pour optimiser l’utilisation des ...
Taille dans une population et probabilités
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire ...
Temps d'attente
Le temps d’attente à une caisse de supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire \(T\) qui suit une lo ...
Temps de fonctionnement de machines
Le fonctionnement d’une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires ...
Temps de transport
Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Une suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Utilisation d'une table de loi normale
À l’aide des tables de valeurs, effectuer les calculs suivants à \(10^{-2}\) près.
Vitesse de marche en cross-country et charge
[Extraits] La vitesse moyenne de marche soutenable d’un soldat à pied, de jour, sur route ou sur terrain amélioré, est de 4 kilomè ...
Échantillons de pièces usinées
Chaque pièce fabriquée par une certaine machine pèse en moyenne \(0.50\) g avec un écart type de ...
Étude d'une loi absolument continue
Soit \(k \in \R\) et \(f\) la fonction définie sur ...