Programme de mathématiques PC
B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année. Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :
- l’aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
- l’aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).
L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.
- a) Éléments propres 251
- b) Polynôme caractéristique 185
- c) Diagonalisation en dimension finie 203
- d) Diagonalisabilité et polynômes annulateurs 64
- e) Trigonalisation en dimension finie 26
exo7 5799
Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 5873
Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...
exo7 5912
Calculer le volume de l’intérieur de l’ellipsoïde d’équation \(x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz=1\).
exo7 6340
Soit \(E=\Cc^n\), \(A\in{\cal L}(E,E)\) et le système différentiel ...
exo7 6342
Résoudre le système ...
exo7 6343
Soit le système ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6351
Soit \(A\in M(4,\Rr)\) semi-simple, et soient \(\pm ai\), ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...