Programme de mathématiques PSI
B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année. Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :
- l’aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
- l’aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).
L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.
- a) Éléments propres 251
- b) Polynôme caractéristique 185
- c) Diagonalisation en dimension finie 203
- d) Diagonalisabilité et polynômes annulateurs 64
- e) Trigonalisation en dimension finie 26
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4412
Résoudre dans \(\mathcal{M}_2(\C)\) : ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5626
Soient ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5649
Soient \(a_0\), ... , \(a_{n-1}\) ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5656
Soit \(A\) une matrice rectangulaire de format \((p,q)\) et ...
exo7 5657
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5658
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\).
Montrer que ...
exo7 5659
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5660
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soien ...
exo7 5661
Soit ...
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5675
Sur \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel. On donne trois endomorphismes ...
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5683
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5686
Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace vectoriel ...
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...