Programme de mathématiques MP, MPI
Calcul différentiel et optimisation
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En première année, l’étudiant a rencontré les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$.
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- généraliser et approfondir cette étude, en présentant les notions fondamentales de calcul différentiel dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{R}$ ;
- donner une introduction à la thématique de l’optimisation, en lien avec le théorème des bornes atteintes du cours de topologie.
On souligne le caractère géométrique des notions. En particulier, on exploite la possibilité de se ramener, pour un certain nombre de questions, à des fonctions d’une variable réelle, à travers l’utilisation de la formule donnant la dérivée d’une fonction le long d’un arc et la notion de vecteur tangent à une partie en un point.
Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$ de dimension finie et à valeurs dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
Le choix d’une base de l’espace d’arrivée permet de se ramener au cas des fonctions à valeurs réelles.
- a) Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles 69
- b) Différentielle 129
- c) Opérations sur les applications différentiables 5
- d) Applications de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- e) Vecteurs tangents à une partie d’un espace normé de dimension finie 12
- f) Optimisation : étude au premier ordre 62
- g) Applications de classe $\mathscr{C}^k$ 4
- h) Optimisation : étude au second ordre 19
exo7 1838
Chercher les extrémums sur \({\Rr}^{2}\) des applications : ...
exo7 1839
Soit \(f\) une fonction réelle de classe \({\cal C}^2\) sur un ouvert ...
exo7 1842
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application \((x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.\) ...
exo7 1844
On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) l ...
exo7 1845
Résoudre à l’aide des coordonnées polaires l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 1848
Résoudre en utilisant le changement de variable \(x=u,y=uv\) l’équation aux dérivées partielles suivante : ...
exo7 1849
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) homogène de degr ...
exo7 1850
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr\) dérivable. On pose ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 1855
Soit \(D=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\). On cherche les fonctions ...
exo7 1857
Soient \(f:\R^n \to \R\) et \(g:\R^n \to \R\) deux fonctions différentiables. En ...
exo7 1862
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) sur un ouvert co ...
exo7 1863
Soit \(f:\R^n\to \R\) une application différentiable. Montrez que si ...
exo7 2075
Soit le champ de vecteurs \({\vec{V}}: {\Rr^3} \to {\Rr^3}\), ...
exo7 2079
Soit \(U = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / z>0\right\}\) et ...
exo7 2482
Calculer \[\oint_\Gamma (2xy^2+\sin z)\,dx + 2x^2y\,dy + x\cos z \,dz\] le long de la courbe ...
exo7 2484
Soit \({\bf U} = (e^x + y^2, -ye^x, x^2+y^2)\) ; calculer \(\div {\bf U}\) et en ...
exo7 2486
Déduire de la formule générale de Stokes la formule de Green en deux dimensions : si \(\Omega\subset \R^2\) de bor ...
exo7 2488
Soit \(C\) le bord du carré \([-1,1]\times[-1,1]\). Calculer ...
exo7 2490
Soit \(C\) une courbe fermée du plan enclosant une aire \(S\), et ...
exo7 2491
Déduire de la formule générale de Stokes la formule de Green en trois
dimensions : si \(V\) est un volume d ...
exo7 2492
Sous les conditions de la formule de Green, montrer les identités suivantes, où \({\bf U}\) est un champ de vecteu ...
exo7 2493
Soit \({\bf U} = (x/r^3, y/r^3, z/r^3)\) ; calculer directement ...
exo7 2503
Soit \(f\) une application \(f\) de \(E\) dans ...
exo7 2504
Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) e ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 2506
Soit \(E^n\) l’espace des polynômes de degré \(\leq n\). Etudier la différentiabi ...
exo7 2507
Soit \(f\) une application différentiable de \(\Rr^2\) dans lui-même, propre (i.e ...
exo7 2508
Soit, dans \({\Rr^n}\), \(F\) un sous-espace fermé, et soit ...
exo7 2510
Soit \(\alpha >0\). Étudier la différientiabilité à l’origine de l’application ...
exo7 2511
Soit \(f:\Rr ^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2512
Soit \(X= {\cal C} ([0,1])\) muni de la norme uniforme et soit \(f\) une applicat ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2514
Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application \(f:\Rr^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2516
Dans un espace normé \(({\cal F} , N)\), on considére l’application ...
exo7 2517
Soit \({\cal E}\) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire ...
exo7 2522
Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...
exo7 2526
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 2553
Calculez \(D^2f(x)\) dans les cas suivants:
exo7 2554
Etudier les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes:
exo7 2556
Déterminez le parallélipipède rectangle de volume \(V\) donné dont la surface totale est minimale.
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 2623
Soit \(f\) la fonction sur \(\R^2\) définie par ...
exo7 2624
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=(x^2+y^2)^x\) pour ...
exo7 2625
Soit \(f\colon \R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par ...
exo7 2626
Soit \(f\colon\R^3 \rightarrow \R\) une fonction de classe \(C^1\) et soit ...
exo7 2627
On considère les fonctions \(f\colon \R^2\longrightarrow \R^3\) et ...
exo7 2628
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point \((x_0,y_0,z_0)\) donné:
exo7 2632
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...