Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Matrices
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et la relation d’équivalence qui s’en déduit sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ;
- introduire brièvement la relation de similitude sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5262
Soit ...
exo7 5264
Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
exo7 5266
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles que ...
exo7 5269
Déterminer le rang des matrices suivantes :
...
exo7 5272
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que : ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5276
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}\) définie par \(a_{i,j}=0\) si ...
exo7 5370
Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...
exo7 5372
Calculer \(\mbox{det}(\mbox{com}A)\) en fonction de \(\mbox{det}A\) puis étudier ...
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5377
Dans le plan, on donne \(n\) points \(A_1\), ... , ...
exo7 5378
Résoudre le système : \(x_1+x_2=0\), \(x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0\) pour ...
exo7 5380
Déteminer l’inverse de \(A=(a_{i,j})\) telle que \(a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1\) et ...
exo7 5381
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5585
Soient \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles qu ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5594
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL_n(\Rr)\) te ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5596
Soient \(A_1\),..., \(A_p\) \(p\) matrices disti ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5605
Soient \(n\) un entier naturel non nul puis \(A\in\mathcal{M}_n(\Kk)\). Soit ...
exo7 5606
Soient \(a\) un réel non nul et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 5607
Rang de la matrice \((i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
exo7 5610
Soient \(a_1\),..., \(a_n\) \(n\) réels tous non ...
exo7 5612
Calculer l’inverse de ...
exo7 5615
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). ...
exo7 5617
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5618
Existe-t-il deux matrices carrées \(A\) et \(B\) telles que ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...