Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Droite stable par un endomorphisme. | |
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme. | Équation aux éléments propres $u(x)=\lambda x$. Si $u$ et $v$ commutent, les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | Notation $\operatorname{Sp}(u)$. La notion de valeur spectrale est hors programme. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Si un polynôme $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $P$. | Si $u(x)=\lambda x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda)x$. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $AX=\lambda X$. |
exo7 3619
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) ayant pour matrice ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3659
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4412
Résoudre dans \(\mathcal{M}_2(\C)\) : ...
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5659
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5660
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soien ...
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5683
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5686
Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace vectoriel ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 6340
Soit \(E=\Cc^n\), \(A\in{\cal L}(E,E)\) et le système différentiel ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...