Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
b) Équations différentielles linéaires du premier ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Équation différentielle linéaire du premier ordre $y'+a(x)y=b(x)$ où $a$ et $b$ sont des fonctions réelles ou complexes définies et continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Ensemble des solutions de l’équation homogène. Principe de superposition. Description de l’ensemble des solutions de l’équation à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée. Méthode de la variation de la constante. Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. | Équation homogène associée. Cas particulier où la fonction $a$ est constante. |
exo7 5478
Résoudre sur \(\}-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\) l’équation différentielle : ...
exo7 5481
Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5874
Résoudre sur \(\Rr\) l’équation différentielle proposée :
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 5881
Résoudre les systèmes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5884
Trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(]0,+\infty[\) vérifiant ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6327
On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6329
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6335
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...
exo7 6336
Calculer les premiers termes de l’itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compri ...
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6360
On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont défin ...
exo7 6361
Soit \(V\) un champ de vecteurs défini sur \(\Omega\subset\Rr^n\). On dit qu’une ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6809
Introduction. Si \(A\) est une matrice \(n\times n\) à coef ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6991
Résoudre sur \(\R\) les équations différentielles suivantes:
exo7 6992
Déterminer toutes les fonctions \(f:[0;1]\to\R\), dérivables, telles que ...
exo7 6993
Résoudre l’équation différentielle \((x^2+1)y'+2xy=3x^2+1\) sur \(\R\). Trace ...
exo7 6994
Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante :
exo7 6995
On considère l’équation différentielle \[y'-e^xe^y=a\] Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement l ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 845
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 846
Pour chacune des équations différentielles qui suit : écrire la solution passant par le point M(.,.) et tracer sommairement le graphe de la solutio ...
exo7 847
On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans \(]0, \infty[\) l’équation différent ...
exo7 848
Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
exo7 849
Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
exo7 850
Trouver les solutions réelles sur l’intervalle maximal de l’équation différentielle : \[t^2y'+y = 1.\]
exo7 851
Soit l’équation différentielle \[(E)\qquad y'+2xy = x.\]
exo7 852
Résoudre et raccorder éventuellement :
exo7 853
Résoudre le système différentiel : ...
exo7 854
Résoudre l’équation différentielle de Ricatti \(x^2y' = x^2y^2 + xy + 1\) en trouvant une solution particulièr ...
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 856
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E)\qquad y'-(1-\tan(x))y=\cos(x).\] On s’intéresse à cet ...
exo7 858
Soit \(f \in C^{1}({\Rr},{\Rr})\) telle que \(f(0)=1\) et ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...