Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
B - Géométrie de l’espace
Rechercher dans cette partie du programme- a) Modes de repérage 7
- b) Produit scalaire 140
- c) Produit vectoriel dans l’espace orienté 73
- d) Produit mixte dans l’espace orienté 34
- e) Plans et droites 86
- f) Sphères 13
Calcul différentiel
Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Effet de la normalisation sur le gradient
On dispose de deux exemples \(x^{(1)} = 1000\) et \(x^{(2)} = 2000\). La normalis ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1007
Montrer que les systèmes \({\mathbf s}_1= (1,\sqrt2)\) et ...
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 109
Dans \(\R^2\), on définit les ensembles \(F_{1}=\{(x,y)\in\R^2,\ y\leq0\}\) et ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 131
\(x\), \(y\), \(z\) étant des nombres réels, rés ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1456
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1457
Soient \(x,y\) et \(z\) trois réels tels que ...
exo7 1459
Soient \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1460
Montrer que ...
exo7 1461
Rappeler l’énoncé de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Montrer que pour toute fonction continue d’un segment ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1465
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\) des
réels positifs.
Montrer que ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1467
Soit \(E\) un espace euclidien, et \(\left( e_{1},...,e_{n}\right)\) des vecteurs ...
exo7 1468
Montrer que sur \(M_{n}({\Rr})\) l’application : ...
exo7 1469
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1470
Soit \(E\) un espace euclidien, montrer que : ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1472
On munit \({\Rr}[X]\) du produit scalaire : ...
exo7 1473
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1474
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1481
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 1493
Résoudre l’équation \((1-x)^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + z^2 = \frac{1}{4}\) pour ...
exo7 1499
\(\Rr^3\) est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs ...
exo7 1524
On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On rappelle que l’adjoint ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1535
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 1561
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1763
Dans \(\R^2\) euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ?
exo7 1828
Trouver le point du plan \((2x-y + z = 16)\) le plus proche de l’origine.
exo7 1864
Montrer que : ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1866
Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...