Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
exo7 600
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par \(u_{0}=1\) et ...
exo7 601
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) la suite définie par \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}.\) L’é ...
exo7 602
Soient \(f\) et \(g\) deux formes linéaires sur un espace vectoriel ...
exo7 603
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 604
Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...
exo7 605
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...
exo7 6067
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 658
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 684
En étudiant la suite \(u_0 \in \Rr\) et \(u_{n + 1} = \cos (u_n)\), déterminer u ...
exo7 7013
Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...
exo7 7019
Soit \(a \in \R_+\). Montrer ...
exo7 7021
Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...
exo7 7022
On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=2\) et pour tou ...
exo7 7040
On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel ...
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 837
Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).
exo7 839
Soit \(a_{n} = \int_0^1 t^n e^t dt\).
exo7 841
Calculer : ...
exo7 844
Calculer les limites suivantes :
exo7 926
Soit \[E=\big\{(u_{n})_{n\in \Nn}\in \Rr^{\Nn}\ |\ (u_{n})_{n} \text{ converge }\big\}.\] Montrer que l’ensembl ...
Limite d'une suite dans $\R^2$
Pour tout \(k \in \N\), on pose ...
Limites
Déterminer les limites des suites suivantes (sans utiliser les équivalents ou négligeabilités).
Limites - le retour
Traiter les limites de l’exercice 10 en utilisant les négligeabilités et équivalences (sauf limites \(4\) et ...
Limites d'un polynôme ou de fraction rationnelle
Déterminer la limite (si elle existe) de chacune des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un produit
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un quotient
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites de somme
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Majoration, minoration
Déterminer si les suites suivantes sont majorées, minorées, ou bornées.
La suite \(u\) définie par ...
Monotonie et limite I
On considère la suite \((u_n)\) définie par : ...
Monotonie et limite II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}^{2}}{1+5u_{n}}\) et ...
Suite récurrente I
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
Suite récurrente II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et ...
Suite récurrente III
On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
Suites adjacentes I
On considère les suites \((u_n)_{n\geq 1}\) et \((v_n)_{n\geq 1}\) définies, pour ...
Suites adjacentes II
On définit la suite \((h_n)_{n\geq 1}\), pour \(n\geq1\), par : ...
Suites et point fixe II
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par : ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Variations
Soit \(u\) la suite définie pour tout \(n\) par ...
Variations autour de la série harmonique
Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...
Étude d'une suite récurrente et de son équivalent
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On ...