Programme de mathématiques MP, MPI
Calcul différentiel et optimisation
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En première année, l’étudiant a rencontré les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$.
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- généraliser et approfondir cette étude, en présentant les notions fondamentales de calcul différentiel dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{R}$ ;
- donner une introduction à la thématique de l’optimisation, en lien avec le théorème des bornes atteintes du cours de topologie.
On souligne le caractère géométrique des notions. En particulier, on exploite la possibilité de se ramener, pour un certain nombre de questions, à des fonctions d’une variable réelle, à travers l’utilisation de la formule donnant la dérivée d’une fonction le long d’un arc et la notion de vecteur tangent à une partie en un point.
Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$ de dimension finie et à valeurs dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
Le choix d’une base de l’espace d’arrivée permet de se ramener au cas des fonctions à valeurs réelles.
- a) Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles 69
- b) Différentielle 129
- c) Opérations sur les applications différentiables 5
- d) Applications de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- e) Vecteurs tangents à une partie d’un espace normé de dimension finie 12
- f) Optimisation : étude au premier ordre 62
- g) Applications de classe $\mathscr{C}^k$ 4
- h) Optimisation : étude au second ordre 19
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6307
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel \(\lambda\), la nature des extremums de la fonction ...
exo7 6308
Soit \(f: (t,x,y) \in \Rr^3 \mapsto f(t,x,y) \in \Rr\) une application de classe ...
exo7 6309
Soit \(g(x,y,z)=xyz -32\), \({\cal S} =\{(x,y,z)\in \Rr^3 \; ;\; g(x,y,z) =0 \}\) ...
exo7 6310
Déterminer le point \(p\) du plan \(\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}\) q ...
exo7 6311
Déterminer les extremums de la fonction \(f(x,y) =xy\) sur le cercle unité ...
exo7 6312
Déterminer le minimum et maximum de la fonction \(f(x,y,z) = 5x+y-3z\) sur l’intersection du plan ...
exo7 6313
Déterminer les extremums de la fonction \(f(x,y,z) = 2x+3y+2z\) sur l’intersection du plan d’équation ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6330
Soit \(f:\Rr^2\to R\), de classe \(C^2\), et ...
exo7 6361
Soit \(V\) un champ de vecteurs défini sur \(\Omega\subset\Rr^n\). On dit qu’une ...
exo7 6362
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) d’un ouvert ...
exo7 6367
Soit \(f\) une application \(C^1\) et bornée de ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6779
Soit \(\phi_2 : \Rr^2 \to S^2 \subset \Rr^3\) la carte de la sphère \(S^2\) donné ...
exo7 6794
Soit \(f:\Rr^4 \to \Rr^2\) défini par ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6839
Soit \(O \subset \Rr^n\) un ouvert et \(f:O \to \Rr^p\) une fonction. Supposons q ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6846
Soit \(U = \{(x,y) \in \Rr^2 \mid y\neq0\,\}\) et soit \(Y:U \to \Rr^2\) le champ ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6880
On donne le champ vectoriel \[\vec{V}(x,y,z)=(y^2\cos x, 2y\sin x+e^{2z},2y e^{2z}).\]
exo7 7664
La restriction à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2-6x=-5\) de la fonction ...
exo7 7669
Dans tout l’exercice, \(r\) et \(h\) parcourent ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...
Fonctions périodiques
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable telle que pour tout ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Gradients matriciels et règle de la chaîne
On se place dans l’espace des matrices réelles \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\). On munit cet espace du produit s ...
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Optimisation sous contrainte (1)
Nous allons ici étudier, pas à pas, la résolution d’une question d’optimisation sous-contraintes. Nous souhaitons déterminer le maximum de la fonct ...
Optimisation sous contrainte (2)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. En réutilisant la méthode ...
Optimisation sous contrainte (3)
A présent, nous allons introduire un outil permettant d’aller plus vite dans la résolution de ces problèmes: le Lagrangien. Si l’on souhaite étudie ...
Optimisation sous contrainte (4)
En vous aidant de la méthode développée à l’exercice précédent, trouver les extremums de la fonction ...
Optimiser sur un triangle
On considère le triangle \[T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq2\}\] et la fonction ...
Points critiques d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...