Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Variance d’une variable aléatoire réelle, écart type et covariance
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Variance et écart type d’une variable aléatoire réelle. | Variance et écart type sont des indicateurs de dispersion. Variable aléatoire réduite. |
Relation $\mathrm{V}(aX + b) = a^2\mathrm{V}(X)$. | Si $\sigma(X) > 0$, la variable $\dfrac{X - \mathrm{E}(X)}{\sigma(X)}$ est centrée réduite. |
Relation $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \mathrm{E}(X)^2$. Variance d’une variable de Bernoulli, d’une variable binomiale. | |
Covariance de deux variables aléatoires. Relation $\operatorname{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$, cas de deux variables indépendantes. | Deux variables aléatoires dont la covariance est nulle sont dites décorrélées. |
Variance d’une somme, cas de variables décorrélées. | On retrouve la variance d’une variable binomiale. |
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Application du théorème central limite
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Calcul approché de probabilité et loi normale
Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36. On suppose que chaque lame a une épaisseur ...
Calcul approché de probabilités
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle telle que \(\E(X) = 30\) et ...
Calcul de risques
On suppose que le poids d’un adulte peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi normale d ...
Calculs de lois
Soient \(\left(X_i\right)_{1 \leq i \leq 9}\) des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, s ...
Contrôle de qualité sur des pièces d'un euro
On effectue un contrôle sur des pièces d’un euro dont une proportion \(p = 0{,}05\) est fausse. On considère un lo ...
Estimation par inégalité
Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la not ...
Estimation par inégalité
On sait qu’une personne sur cent est dyslexique. Lors des journées "citoyens", on détecte ce problème. Sur \(n\) j ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
exo7 6005
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. P ...
exo7 6007
Un avion peut accueillir 20 personnes; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit ...
exo7 6012
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
exo7 6019
Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6020
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
exo7 6024
On suppose qu’il y a une probabilité égale à \(p\) d’être contrôlé lorsqu’on prend le tram. Monsieur A fait ...
exo7 6025
Un échantillon de \(10\,000\) personnes sur une population étant donné, on sait que le taux moyen de personnes à s ...
exo7 6026
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6916
On lance deux dés à 6 faces. Soit \(X_1\) le résultat du premier dé, \(X_2\) le r ...
exo7 6918
Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat ...
exo7 6919
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6920
Soit \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires de même loi, à valeurs dans ...
exo7 6934
Sur un lot de 700 boulons soumis à des essais de rupture, 300 ont résisté. Sur un second lot de 225, 125 ont résisté. Peut-on admettre, au seuil de ...
exo7 6952
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
Indépendance de variables aléatoires
Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boîte, sans remise. Parmi les 3 boules tirées, on note ...
Introduction à la loi binomiale
Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches.
Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Loi binomiale et approximation normale
Une entreprise fabrique en grande série des capteurs. La probabilité qu’un capteur soit défectueux est ...
Loi d'un couple
On considère un fast food muni de \(N\) comptoirs. Le nombre de personnes se présentant en une heure au fast food ...
Loi d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 3,4,5 et 6.
Loi d'une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\{3,4,5,6\}\) te ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Lois usuelles
Un examen comporte un écrit et un oral.
Modélisation avec des estimateurs
Lors d’une élection, un candidat a obtenu 65% des voix. On considère deux échantillons de votants.
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Une suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Étude d'un gain
On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si le résultat est pair, on pert 1 euro si le résultat est impair. Ŝoit ...