Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 5274
Soit \(\omega=e^{2i\pi/n}\), \((n\geq 2)\). Soit ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5276
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}\) définie par \(a_{i,j}=0\) si ...
exo7 5277
On pose \(u_0=1\), \(v_0=0\), puis, pour ...
exo7 5360
\(A_1\), \(A_2\),..., ...
exo7 5362
Montrer que ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5364
Calculer :
exo7 5365
Soit \(A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5366
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) où, pour tout \(i\) et tout ...
exo7 5367
Résoudre le système \(MX=U\) où ...
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5369
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) et \(B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) avec ...
exo7 5370
Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...
exo7 5371
Soit ...
exo7 5372
Calculer \(\mbox{det}(\mbox{com}A)\) en fonction de \(\mbox{det}A\) puis étudier ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...
exo7 5374
Calculer
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...
exo7 5377
Dans le plan, on donne \(n\) points \(A_1\), ... , ...
exo7 5378
Résoudre le système : \(x_1+x_2=0\), \(x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0\) pour ...
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5380
Déteminer l’inverse de \(A=(a_{i,j})\) telle que \(a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1\) et ...
exo7 5381
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5491
\(\mathcal{B}\) est une base orthonormée directe de \(\Rr^3\) donnée. Montrer que ...
exo7 5492
Soit \(\mathcal{B}\) une base orthonormée de \(E\), espace euclidien de dimension ...
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5566
Les familles suivantes de \(\Rr^4\) sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quan ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5604
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) définie par \(a_{i,j}=1\) si ...
exo7 5606
Soient \(a\) un réel non nul et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 5607
Rang de la matrice \((i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).
exo7 5608
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5609
On appelle idéal bilatère de l’anneau \((\mathcal{M}_n(\Kk),+,\times)\) tout sous-ensemble I de ...
exo7 5610
Soient \(a_1\),..., \(a_n\) \(n\) réels tous non ...
exo7 5612
Calculer l’inverse de ...
exo7 5613
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et ...
exo7 5615
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...
exo7 5617
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5618
Existe-t-il deux matrices carrées \(A\) et \(B\) telles que ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...