Parcourir les exercices

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...

Soit \(\alpha\in\Rr\). Nature de la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...

Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...

Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).

Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...

Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...

Pour \(n\) entier naturel, on pose ...

On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...

Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...

Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...

Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...

Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...

On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)

...

Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).

Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).

Calculer : ...

Calculer : ...

Calculer les limites suivantes :

On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), ...

On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...

Étudier la convergence des séries \(\sum\limits_{n \geq n_0} u_n\) suivantes et préciser la somme de la série quan ...

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

On considère la série entière à variable réelle \[S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+2}{n!}\,x^n.\] ...

Pour tout \(n \in \N\), on pose \(u_n = \frac{5}{4^n}\).

Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).

Soit un entier \(k \geq 1\).

Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...

On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]

Vrai ou Faux ? Justifier.

Dire la série \(\sum u_n\) est convergente ou divergente pour les cas suivants :

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...

En examinant la limite du terme général, montrer que les séries suivantes divergent :

Étudier la convergence des séries \(\sum u_n\) suivantes:

On relève les cinq couples \[(x_i,y_i)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,12).\] On hésite entre les deux modèles ...