Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
b) Dérivation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivée d’une fonction. | Notations $f'(x)$, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(f(x)\big)$. |
Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une composée. | Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la dérivée et l’équation de la tangente ; ils ne sont pas démontrés à ce stade. Exemples simples de calculs de dérivées partielles. |
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, strictement (dé)croissantes, parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. | Résultats admis à ce stade. |
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction. Tracé du graphe. | Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités. |
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réciproque. Fonction de classe $\mathscr{C}^1$. Dérivées d’ordre supérieur. | La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’interprétation géométrique. |
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 628
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6325
Soit l’équation différentielle ...
exo7 6326
On considère l’équation différentielle (de Ricatti) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 689
En étudiant les variations de la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6981
Représenter les courbes d’équation cartésienne \(y=f(x)\), donner l’équation de leur tangente au point d’abscisse ...
exo7 699
Déterminer \(a,b \in \Rr\) de manière à ce que la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 6995
On considère l’équation différentielle \[y'-e^xe^y=a\] Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement l ...
exo7 6996
Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur \(\R\) tout entier :
exo7 701
Calculer la fonction dérivée d’ordre \(n\) des fonctions \(f,g,h\) définies par : ...
exo7 7032
Soient \(a, b, c\) trois réels et \(f : \R\to \R, \: x\mapsto ae^x+bx+c\). On sup ...
exo7 704
Etudier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des applications suivantes : ...
exo7 705
Calculer les dérivées des fonctions :
exo7 706
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
exo7 710
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...
exo7 712
Calculer la dérivée de \(x\rightarrow \ln \cos (\pi +\frac{x^{2}-1}{ x^{2}+1}).\)
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...
exo7 728
Soit \(f: \Rr \longrightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = (1-k)^3x^2+(1+k)x^3\) où ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 731
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) telle que ...
exo7 734
Quel est le lieu des points d’inflexion (puis des extrémums locaux) de \(f_{\lambda }\) quand ...
exo7 735
Trouver les fonctions \(f:{\Rr\rightarrow \Rr}\) dérivables en \(0\) telles que : ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 746
Démontrer les inégalités suivantes : \[\Arcsin a < \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{ si } 0<a<1 ;\] ...
exo7 752
Vérifier ...
exo7 755
Étudier la fonction : \[\phi :x\rightarrow \arcsin \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}+\arccos \frac{2x}{1+x^{2}}.\]
exo7 773
Démontrer les inégalités : ...
exo7 776
Résoudre l’équation \(x^y = y^x\) où \(x\) et ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 813
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction strictement croissante et continûment dérivable. On considère les deux ...
exo7 814
Calculer les primitives suivantes : \[\int \frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt[3]{2+x}}dx, \quad (t=\sqrt[6]{2+x}) \ ;\] ...
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).