Programme de mathématiques BCPST, seconde année
d) Lois usuelles discrètes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Loi de Poisson. Espérance, variance. | |
Loi géométrique. Espérance, variance. Propriété d’invariance temporelle ou d’absence de mémoire de la loi géométrique. | On présente la loi géométrique comme loi du nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès dans une suite illimitée d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre. ⇌ Exemples de situations expérimentales modélisées par une loi géométrique. |
Approximation par inégalité
Soit \(X\) le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que ...
Assurance vie, loi du nombre de décès et bénéfice annuel
Une compagnie assure \(N=10\,000\) clients sur la vie, qui paient chacun une prime annuelle de ...
Calcul par approximation
L’observation a permis d’affirmer que le nombre d’étudiants qui entrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de paramètre ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
exo7 6010
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
exo7 6011
Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins un centenaire parmi ...
exo7 6013
Une population comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1m90 sur 80 personnes. Sur 100 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au m ...
exo7 6016
Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées; on estime à 0.1% la proportion de plaques inutilisables. L’utilisation de ce ...
exo7 6019
Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6020
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
exo7 6023
Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu \(20\)% des voix. On prend au hasard dan ...
exo7 6907
Un standard téléphonique reçoit en moyenne 2 appels par minute. Les appels sont répartis au hasard dans le temps.
exo7 6917
Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
exo7 6944
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6947
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
exo7 6949
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Cal ...
exo7 6952
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), ...
Fréquence d’arrivées logistiques
L’observation a permis d’affirmer que le nombre de camions de ravitaillement arrivant à un poste logistique entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poi ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Inégalités et loi de Poisson
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\) ...
Loi d'un couple
On considère un fast food muni de \(N\) comptoirs. Le nombre de personnes se présentant en une heure au fast food ...
Loi de Poisson
Soit \(\lambda >0\) et \(X\) suivant une loi de Poisson ...
Loi de Poisson
Une population de 80 personnes comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1,90m. Soit une population ...
Loi de Poisson et TCL
On modélise le nombre d’unités militaires par heure circulant sur une route stratégique par une variable \(B\) sui ...
Loi exponentielle et loi géométrique
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Loi géométrique
On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est ...
Loi géométrique
On note \(p \in ]0;1[\) et \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométriq ...
Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Lois usuelles
Un standard téléphonique est, en moyenne, occupé 6 fois sur 10. Soit \(X\) le nombre de tentatives nécessaires pou ...
Problème de clés
Reconnaître une loi usuelle et ses paramètres
Pour chaque situation, indiquer la loi de probabilité la plus adaptée et préciser ses paramètres. On justifiera brièvement chaque réponse.
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Temps de transport
Une commune a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport. Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l ...