Programme de mathématiques PC
B - Fonctions de plusieurs variables
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Les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ ont été introduites en première année.
L’objectif de cette section est d’approfondir et de généraliser cette étude aux fonctions de $p\geqslant2$ variables.
L’étude d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ se ramenant à celle de ses coordonnées, cette section se consacre à l’étude des fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$. Elle est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie. On se limite en pratique au cas $p=2$ ou $p=3$.
- a) Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- b) Règle de la chaîne 4
- c) Gradient 99
- d) Fonctions de classe $\mathscr{C}^2$ 2
- e) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ 17
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère une boîte dont la longueur \(\ell\), la largeur \(w\) et la hauteur ...
Effet du taux d'apprentissage sur la descente de gradient
On se place dans la situation suivante : \(w = 3\), gradient \(= 4\).
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 1802
Soit ...
exo7 1812
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1813
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1814
Etudier la différentiabilité et la continuité des dérivées partielles de la fonction \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1815
Etudier la différentiabilité en \((0,0)\) des fonctions définies par
exo7 1820
Calculer les différentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition :
exo7 1821
Calculer \(df\, (1,1)\), si \(f(x,y)=\frac{x}{y^2}\).
exo7 1822
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y,z)=\ln \left( e^x+e^y+e^z\right)\) à l’origine dans une direction form ...
exo7 1844
On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) l ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 1857
Soient \(f:\R^n \to \R\) et \(g:\R^n \to \R\) deux fonctions différentiables. En ...
exo7 1862
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) sur un ouvert co ...
exo7 1863
Soit \(f:\R^n\to \R\) une application différentiable. Montrez que si ...
exo7 2079
Soit \(U = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / z>0\right\}\) et ...
exo7 2482
Calculer \[\oint_\Gamma (2xy^2+\sin z)\,dx + 2x^2y\,dy + x\cos z \,dz\] le long de la courbe ...
exo7 2486
Déduire de la formule générale de Stokes la formule de Green en deux dimensions : si \(\Omega\subset \R^2\) de bor ...
exo7 2490
Soit \(C\) une courbe fermée du plan enclosant une aire \(S\), et ...
exo7 2493
Soit \({\bf U} = (x/r^3, y/r^3, z/r^3)\) ; calculer directement ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 2507
Soit \(f\) une application différentiable de \(\Rr^2\) dans lui-même, propre (i.e ...
exo7 2510
Soit \(\alpha >0\). Étudier la différientiabilité à l’origine de l’application ...
exo7 2511
Soit \(f:\Rr ^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2514
Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application \(f:\Rr^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2516
Dans un espace normé \(({\cal F} , N)\), on considére l’application ...
exo7 2522
Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...
exo7 2526
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 2625
Soit \(f\colon \R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par ...
exo7 2628
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point \((x_0,y_0,z_0)\) donné:
exo7 2632
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 2633
Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2634
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants: ...
exo7 2635
Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des différentielles de sommes, produits ...
exo7 2637
Soit \(g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R\) une fonction de classe \(C^1\) ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...