Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6316
On considère l’équation différentielle \[(E)\qquad y''+y'+y=0\]
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
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En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6325
Soit l’équation différentielle ...
exo7 6326
On considère l’équation différentielle (de Ricatti) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6327
On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6329
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6335
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...
exo7 6336
Calculer les premiers termes de l’itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compri ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6349
Trouver les solutions du système \(x' = -y\), ...
exo7 635
Calculer : ...
exo7 6355
On considère l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)\).
Ecrire le système dif ...
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6357
On considère les équations ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6360
On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont défin ...
exo7 6361
Soit \(V\) un champ de vecteurs défini sur \(\Omega\subset\Rr^n\). On dit qu’une ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 652
Soit \(f\) continue sur \(\Rr\) admettant \(1\) ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 656
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) croissante. Construire ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 6737
Si \(\gamma\) est l’arc de courbe \(\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)\) joignant les ...
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6809
Introduction. Si \(A\) est une matrice \(n\times n\) à coef ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 6822
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) on considère le système ...
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...