Programme de mathématiques BCPST, seconde année
c) Espérance
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Espérance. Propriétés. Notion de variable centrée. | La linéarité de l’espérance est admise. Par extension, on pourra appliquer la linéarité de l’espérance à des variables aléatoires, qu’elles soient discrètes ou à densité, sans savoir si leur résultante est discrète ou à densité. |
Théorème de transfert : si $X$ est une variable aléatoire à densité et $u$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $X(\Omega)$, continue sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors $u(X)$ admet une espérance si, et seulement si, $\displaystyle\int_I u(x)f(x)\,\mathrm{d}x$ est absolument convergente. Le cas échéant, $E(u(X))=\displaystyle\int_I u(x)f(x)\,\mathrm{d}x$. | Résultat admis. On pourra appliquer ce théorème sans savoir si $u(X)$ est une variable aléatoire discrète ou à densité. |
Propriétés : • Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. | On pourra appliquer ce théorème dès lors que la variable aléatoire admet une variance, sans savoir si elle est discrète ou à densité. |
• Variance et moments. • Écart-type $\sigma(X)$ d’une variable aléatoire $X$. • Formule de König-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$. • Variance de $aX+b$. Notion de variable centrée réduite. | |
• Si $X$ est une variable aléatoire admettant une variance non nulle, $X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ est une variable centrée réduite. | $X^*$ est appelée variable centrée réduite associée à $X$. |
• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, espérance de $XY$ et variance de $X+Y$. | Résultat sur l’espérance admis. Par extension, on pourra appliquer ces formules à des variables aléatoires, qu’elles soient discrètes ou à densité, sans savoir si leurs résultantes $XY$ et $X+Y$ sont discrètes ou à densité. Généralisation au cas de $n$ variables aléatoires indépendantes. |
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Application du théorème central limite
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Calcul approché de probabilités
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle telle que \(\E(X) = 30\) et ...
Calcul avec une densité de probabilité
Soit la fonction densité de probabilité \(f\) définie sur l’intervalle \([0, 2]\) ...
Comparaison de lois normales
La note obtenue par des étudiants à un examen suit une variable aléatoire \(X\) de loi normale de moyenne ...
Densité conjointe sur le carré unité
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Densité de probabilité et variable aléatoire continue
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Densité et fonction de répartition d'une variable aléatoire
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Densité et transformation affine
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Densité, fonction de répartition
On considère la fonction \(f\) définie par : ...
Durée de vie
Une machine est composée de trois alternateurs indépendants. La durée de vie de \(T\) de chaque alternateur suit u ...
Durée de vie d'un émetteur récepteur
Une unité de communication militaire est composée de trois émetteurs-récepteurs indépendants. La durée de vie ...
Démonstrations de cours pour la loi normale
Soit \(X\) une variable aléatoire dont la loi est déterminée par la fonction densité définie pour tout ...
Etude d'une loi de probabilité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par ...
Etude d'une variable aléatoire à densité
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue de densité \(f\) définie su ...
exo7 6921
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi normale \(N(m,\sigma^2)\). Quel ...
exo7 6940
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) et ...
exo7 6951
Montrer que pour tout \(x>0\), ...
Fiabilité d'un système électronique
Un système électronique est constitué de \(n\) composants disposés en série. Cela implique que la panne d’un compo ...
File d'attente
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire ...
Loi de Cauchy
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Loi de Gumbel
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Soient trois réels \(\alpha,a,x_0\) avec \(a>0\). On dit qu’une variable aléat ...
Loi log-normale
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Loi uniforme, max, min, stratégie
Etant donnés trois nombres réels dans l’intervalle \([0;1]\), on définit deux stratégies :
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Loi à densité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par ...
Moments de la loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Paramètres de la loi uniforme
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([a;b]\). Calcule ...
Simulation d'une loi de Pareto
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. On considère la fonction ...
Simuler la loi d'une moyenne
Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) désigne le quantile de la loi ...
Suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Temps de fonctionnement de machines
Le fonctionnement d’une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Une suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Étude d'une loi absolument continue
Soit \(k \in \R\) et \(f\) la fonction définie sur ...