Programme de mathématiques PT
C - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Après avoir introduit le vocabulaire des éléments propres en dimension quelconque, cette partie s’intéresse de manière plus approfondie au cas de la dimension finie, et à la question de la diagonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée.
Tout développement sur les polynômes d’endomorphisme est hors programme.
- a) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 230
- b) Polynôme caractéristique 170
- c) Endomorphismes et matrices diagonalisables 202
- d) Endomorphismes et matrices trigonalisables 21
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5683
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5686
Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace vectoriel ...
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5799
Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 5912
Calculer le volume de l’intérieur de l’ellipsoïde d’équation \(x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz=1\).
exo7 6340
Soit \(E=\Cc^n\), \(A\in{\cal L}(E,E)\) et le système différentiel ...
exo7 6342
Résoudre le système ...
exo7 6343
Soit le système ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6351
Soit \(A\in M(4,\Rr)\) semi-simple, et soient \(\pm ai\), ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...