Programme de mathématiques BCPST, seconde année
d) Lois usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Loi uniforme : densité, fonction de répartition, espérance, variance. | |
Loi exponentielle : densité, fonction de répartition, espérance, variance. Propriété d’invariance temporelle ou d’absence de mémoire : $P(X\geq s+t\mid X\geq s)=P(X\geq t)$ et on donne quelques exemples d’expériences donnant du sens à cette propriété. | ⇌ Une variable aléatoire de loi exponentielle peut être simulée à partir d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $]0,1[$. |
Loi normale (ou gaussienne) centrée et réduite : densité, espérance et variance. | ⇌ On obtient les valeurs de la fonction de répartition (notée souvent $\Phi$) et de sa réciproque au moyen de la calculatrice ou d’une bibliothèque associée à un langage de programmation. Un échantillon de valeurs utiles devra être rappelé. ⇌ Une variable aléatoire de loi normale peut être simulée à partir d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $]0,1[$. |
Loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2$ : densité, espérance et variance. | |
Si $X$ suit une loi normale, alors $aX+b$ aussi si $a\neq 0$. | Pour une variable de loi $\mathscr{N}(\mu,\sigma^2)$, on se ramènera le plus souvent à la variable centrée réduite associée. |
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Soit \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), ...
Fiabilité d'un système électronique
Un système électronique est constitué de \(n\) composants disposés en série. Cela implique que la panne d’un compo ...
Fiabilité des systèmes en parallèle et loi exponentielle
Un poste de commandement utilise deux systèmes de communication indépendants et identiques, chacun ayant une durée de vie modélisée par une variabl ...
File d'attente
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire ...
Files d'attente
On considère deux files d’attente indépendantes. Deux personnes arrivent simultanément et se présentent respectivement aux deux files d’attente. On ...
Files d'attente
Dans un camp militaire, deux unités médicales indépendantes sont disponibles pour soigner les soldats blessés. Deux soldats arrivent simultanément ...
Fonction de répartition
Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité ...
Fonction de répartition
Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité ...
Fonctions de répartition et changement de variable
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). On rapp ...
Fréquence d’arrivées logistiques
L’observation a permis d’affirmer que le nombre de camions de ravitaillement arrivant à un poste logistique entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poi ...
Gain aléatoire sur une cible
Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, ...
Initiation au tableur : probabilités et quantiles
À l’aide d’un tableur, calculer les quantités suivantes. Dans \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), le second paramètre est ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Latence aléatoire et théorème central limite
Un centre de commandement envoie des ordres à un escadron de drones militaires. Pour des raisons opérationnelles (sécurité des fréquences, variatio ...
Loi d'un min ou max
Soit \(X_1,..,X_n\) des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une même loi exponentielle ...
Loi d'une somme de variables aléatoires
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une ...
Loi d'une somme de variables aléatoires, question de cours
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une ...
Loi de Cauchy
Soit \(f\) une fonction définie pour tout \(x \in \R\) par ...
Loi exponentielle et loi géométrique
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Loi log-normale
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi normale quelconque ...
Loi log-normale
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ...
Loi log-normale et produits de variables aléatoires
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb{R}\) et \(\sigma>0\), notée ...
Loi normale, calculs numériques
A l’aide des tables de valeurs, calculer \(\PP(-1.2 \leq Z \leq 1.1)\) où \(Z\) s ...
Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Maximum de lois exponentielles et convergence vers la loi de Gumbel
Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi ex ...
Maximum de variables exponentielles et loi de Gumbel
Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi ex ...
Min et Max
Soit \(X_1,..,X_n\) des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une même loi exponentielle ...
Modélisation avec des estimateurs
Lors d’une élection, un candidat a obtenu 65% des voix. On considère deux échantillons de votants.
Modélisation d'une journée de marche (ATP 3-21.18, Forced Marches)
Donnée (extrait) : « A normal foot march day, under ideal conditions, is 8 hours, for 32 kilometers at a rate of 4 kilometers per hour (kph). U ...
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Moments de la loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Norme d'un vecteur gaussien et somme de variables exponentielles
Pour toute variable aléatoire \(T\), on définit la transformée de Laplace ...
Optimisation d'un stock
La demande d’un produit au cours d’une saison suit une loi normale de moyenne 5 000 et d’écart-type 1 000.
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Paramètres de la loi uniforme
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([a;b]\). Calcule ...
Production industrielle : loi normale
Le diamètre d’une pièce produite par une machine est modélisé par une variable aléatoire \(X\) suivant une loi nor ...
Propriétés de la loi normale centrée réduite
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ...
Quantiles des lois d'échantillonnage au tableur
Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\), ...
Réseau de transmissions
Un poste de commandement dessert \(5\,000\) terminaux de communication (véhicules, unités mobiles, postes radio). ...
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Simulation d'une loi de Pareto
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. On considère la fonction ...
Simulation d'une loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\) e ...
Simulation de loi : Rademacher, Laplace, Géométrique
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rad ...
Simulation et fonction de répartition
Soit \(X\) une variable aléatoire et soit \(F\) sa fonction de répartition. On su ...
Simuler la loi d'une moyenne
Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) désigne le quantile de la loi ...
Surbooking
Pour un vol aérien, il arrive fréquemment que le nombre de réservations soit supérieur au nombre passagers présents dans l’avion. Pour compenser ce ...
Surbooking militaire
Lors d’une opération de transport aérien stratégique, un avion militaire peut transporter au maximum 300 soldats. Pour optimiser l’utilisation des ...
Taille dans une population et probabilités
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire ...
Temps d'attente
Le temps d’attente à une caisse de supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire \(T\) qui suit une lo ...
Temps de fonctionnement de machines
Le fonctionnement d’une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires ...