Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Déterminant d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Il existe une unique application $f:\mathscr{M}_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ vérifiant les trois propriétés suivantes : i. $f$ est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable ; ii. $f$ est antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable ; iii. $f(I_n)=1$. | La démonstration de ce théorème pour $n\geqslant 4$ et la notion générale de forme multilinéaire sont hors programme. Pour $n\in\{2,3\}$, on fait le lien avec le produit mixte de deux ou trois vecteurs. On notera $\det(A)$ le nombre $f(A)$ pour toute matrice $A$ de $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. |
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5258
Pour \(x\) réel, on pose :
...
exo7 5262
Soit ...
exo7 5263
Montrer que ...
exo7 5264
Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5267
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) \((n\geq2)\) définie par
...
exo7 5268
Déterminer le centre de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\), c’est à dire l’ensemble des éléments de ...
exo7 5274
Soit \(\omega=e^{2i\pi/n}\), \((n\geq 2)\). Soit ...
exo7 5276
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}\) définie par \(a_{i,j}=0\) si ...
exo7 5277
On pose \(u_0=1\), \(v_0=0\), puis, pour ...
exo7 5360
\(A_1\), \(A_2\),..., ...
exo7 5371
Soit ...
exo7 5377
Dans le plan, on donne \(n\) points \(A_1\), ... , ...
exo7 5380
Déteminer l’inverse de \(A=(a_{i,j})\) telle que \(a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1\) et ...
exo7 5490
Soit \(M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)\) avec ...
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5604
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) définie par \(a_{i,j}=1\) si ...
exo7 5606
Soient \(a\) un réel non nul et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 5608
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5609
On appelle idéal bilatère de l’anneau \((\mathcal{M}_n(\Kk),+,\times)\) tout sous-ensemble I de ...
exo7 5610
Soient \(a_1\),..., \(a_n\) \(n\) réels tous non ...
exo7 5612
Calculer l’inverse de ...
exo7 5613
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et ...
exo7 5616
Résoudre dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) l’équation \(M=\text{com}M\) ( ...
exo7 5617
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5618
Existe-t-il deux matrices carrées \(A\) et \(B\) telles que ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5625
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de format ...
exo7 5628
Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5656
Soit \(A\) une matrice rectangulaire de format \((p,q)\) et ...
exo7 5661
Soit ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).