Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Convergence en loi
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition de la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires $(X_n)$ vers une variable aléatoire $X$. Cas particulier où les $X_n$ prennent leurs valeurs dans $\mathbb{N}$. | |
Convergence en loi d’une suite de variables aléatoires de lois binomiales vers une variable aléatoire de loi de Poisson. | Approximations qui en découlent. Les critères d’approximation devront être explicités. |
Théorème central limite (première forme) : si $(X_n)_{n\geq 1}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, admettant une espérance $\mu$ et une variance $\sigma^2$ non nulle, alors $(M_n^*)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Cas de la loi binomiale : théorème de de Moivre-Laplace. | Théorème admis. On rappelle que $M_n^*=\dfrac{M_n-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ est la variable aléatoire centrée réduite associée à $M_n$. ⇌ On illustre numériquement cette convergence. |
L’écart-type empirique d’un $n$-uplet de variables aléatoires $(X_1,\dots,X_n)$, noté $S_n$, est défini par $S_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-M_n)^2$. | |
Théorème central limite (seconde forme) : Si $(X_n)_{n\geq 1}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, admettant une espérance $\mu$ et une variance, alors $\left(\dfrac{M_n-\mu}{\frac{S_n}{\sqrt{n}}}\right)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. | Théorème admis. Une autre version de ce théorème, impliquant l’écart-type empirique corrigé $S_n'$ défini par ${S_n'}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-M_n)^2$, pourra être donnée. |
Application du théorème central limite
Soit \(X_1, X_2, \ldots, X_{100}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées su ...
Application du théorème central limite
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Approximation par inégalité
Soit \(X\) le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que ...
Approximation par une loi normale
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0.05\) est fausse et sur des pièces de d ...
Calcul approché de probabilité et loi normale
Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36. On suppose que chaque lame a une épaisseur ...
Calcul d'erreur
On suppose qu’un ordinateur effectue \(10^6\) opérations élémentaires pour un calcul donné. On suppose également q ...
Calcul de probabilités
Une machine est conçue pour fabriquer des pièces pesant chacune \(0{,}5\) g. Dans les faits, le résultat n’est pas ...
Calcul par approximation
Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès qui dessert \(5\,000\) abonnés. À un instant d ...
Calcul par approximation
L’observation a permis d’affirmer que le nombre d’étudiants qui entrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de paramètre ...
Contrôle de qualité sur des pièces d'un euro
On effectue un contrôle sur des pièces d’un euro dont une proportion \(p = 0{,}05\) est fausse. On considère un lo ...
Convergence d'une suite de variables aléatoires
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires i.i.d. selon une loi normale ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Distribution de Gumbel et les fonctions de répartition
Soient \(g\) et \(G\) deux fonctions définies pour tout ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
exo7 6016
Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées; on estime à 0.1% la proportion de plaques inutilisables. L’utilisation de ce ...
exo7 6020
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
exo7 6022
On jette un dé 180 fois. On note \(X\) la variable aléatoire : <<nombre de sorties du 4>>.
exo7 6023
Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu \(20\)% des voix. On prend au hasard dan ...
exo7 6931
La firme Comtec vient de développer un nouveau dispositif électronique. Avant de le mettre en production, on veut en estimer la fiabilité en termes ...
Fréquence d’arrivées logistiques
L’observation a permis d’affirmer que le nombre de camions de ravitaillement arrivant à un poste logistique entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poi ...
Gain aléatoire sur une cible
Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Latence aléatoire et théorème central limite
Un centre de commandement envoie des ordres à un escadron de drones militaires. Pour des raisons opérationnelles (sécurité des fréquences, variatio ...
Loi binomiale et approximation normale
Une entreprise fabrique en grande série des capteurs. La probabilité qu’un capteur soit défectueux est ...
Loi de Gumbel
Soit \(X_1,\,\cdots,X_n\) des v.a. indépendantes et de même loi \(X\), de densité ...
Loi de Poisson et TCL
On modélise le nombre d’unités militaires par heure circulant sur une route stratégique par une variable \(B\) sui ...
Lois d'échantillonnage pour un ou deux échantillons normaux
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Maximum de lois exponentielles et convergence vers la loi de Gumbel
Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi ex ...
Maximum de variables exponentielles et loi de Gumbel
Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi ex ...
Modélisation avec des estimateurs
Lors d’une élection, un candidat a obtenu 65% des voix. On considère deux échantillons de votants.
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Réseau de transmissions
Un poste de commandement dessert \(5\,000\) terminaux de communication (véhicules, unités mobiles, postes radio). ...
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Simuler la loi d'une moyenne
Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) désigne le quantile de la loi ...
Surbooking
Pour un vol aérien, il arrive fréquemment que le nombre de réservations soit supérieur au nombre passagers présents dans l’avion. Pour compenser ce ...
Surbooking militaire
Lors d’une opération de transport aérien stratégique, un avion militaire peut transporter au maximum 300 soldats. Pour optimiser l’utilisation des ...
Échantillons de pièces usinées
Chaque pièce fabriquée par une certaine machine pèse en moyenne \(0.50\) g avec un écart type de ...
Étude d'un gain
On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si le résultat est pair, on pert 1 euro si le résultat est impair. Ŝoit ...