Programme de mathématiques MP, MPI
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées prolonge les notions d’algèbre linéaire vues en première année. Elle trouve des applications et des illustrations dans d’autres domaines du programme (topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov). Elle permet également de tisser des liens entre l’algèbre linéaire et l’algèbre générale, notamment polynomiale.
Le but de cette section est de donner une introduction substantielle au problème de la réduction. Les approches sont de deux types, qu’il convient d’identifier : la première, de nature géométrique, repose sur les notions de sous-espace stable et d’éléments propres ; la seconde, plus algébrique, fait appel aux polynômes annulateurs.
Sans soulever de difficulté, on signale que les notions d’algèbre linéaire étudiées en première année s’étendent au cas d’un corps de base quelconque. Pour éviter les difficultés liées aux polynômes en caractéristique non nulle, la section est traité sous l’hypothèse que $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
- a) Compléments d’algèbre linéaire 20
- b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 255
- c) Polynôme caractéristique 188
- d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables 203
- e) Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables 22
- f) Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 43
- g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 127
- h) Lemme de décomposition des noyaux 5
- i) Polynômes annulateurs et réduction 72
- j) Théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques 14
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5675
Sur \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel. On donne trois endomorphismes ...
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5683
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5686
Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace vectoriel ...
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5799
Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 5873
Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...
exo7 5912
Calculer le volume de l’intérieur de l’ellipsoïde d’équation \(x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz=1\).
exo7 6337
On rappelle les différentes méthodes pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants ...
exo7 6338
Soit \(A\) un opérateur de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6340
Soit \(E=\Cc^n\), \(A\in{\cal L}(E,E)\) et le système différentiel ...
exo7 6342
Résoudre le système ...
exo7 6343
Soit le système ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6351
Soit \(A\in M(4,\Rr)\) semi-simple, et soient \(\pm ai\), ...
exo7 6352
Si \(A\) est nilpotente, quelle est la forme des solutions de l’équation ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
exo7 925
Soient \(U, V, W\) des s.e.v. d’un e.v. \(E\), vérifiant ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Inversibilité de matrices
Soit la matrice ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Polynôme minimal et réduction
On considère la matrice
...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...