Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Probabilités
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Cette section, qui a vocation à interagir avec l’ensemble du programme, a pour objectif de donner aux étudiants une bonne pratique des variables aléatoires dans le cadre fini.
Pour enrichir la pratique de la modélisation probabiliste développée au lycée, on met en évidence qu’une situation probabiliste finie peut être décrite par un $n$-uplet de variables aléatoires, l’univers étant vu dans cette optique comme une source suffisante d’aléa. L’objectif de cette présentation est de pouvoir travailler le plus tôt possible avec des événements construits en termes de variables aléatoires. La construction d’un univers fini susceptible de porter un $n$-uplet de variables aléatoires peut être présentée, mais ne constitue pas un objectif du programme.
Les exemples et activités proposés sont de nature plus conceptuelle qu’au lycée. On pourra faire travailler les étudiants sur des marches aléatoires ou des chaînes de Markov en temps fini, sur des permutations aléatoires (loi uniforme sur $S_n$), des graphes aléatoires, des inégalités de concentration…
Le programme de probabilités de première année s’achève sur une approche non asymptotique de la loi faible des grands nombres qui justifie l’approche fréquentiste des probabilités.
exo7 6947
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
exo7 6952
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
exo7 6954
On considère un cercle. On choisit une corde au hasard et on cherche la probabilité pour que cette corde passe à l’intérieur d’un triangle équilaté ...
Fiabilité
Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de composants électroniques contenant \(2\)% d’éléments défectu ...
Fonctionnement d'une machine
Une usine a besoin de deux machines \(m_1\) et \(m_2\). La probabilité que ...
Gain aléatoire sur une cible
Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, ...
Gain au loto
Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents compris entre 1 et 49. Au dernier tirage, il fallait jouer les numéros: ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Indépendance
Soient \(A_1, \ldots, A_n\) une suite de \(n\) événements d’un espace probabilisé ...
Indépendance
Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12 . On en tire une hasard, et on considère les événements ...
Indépendance de caractères
Le tableau suivant donne la répartition de 10 000 personnes en fonction de leur groupe sanguin et de leur facteur Rhésus.
Indépendance de variables aléatoires
Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boîte, sans remise. Parmi les 3 boules tirées, on note ...
Introduction à la loi binomiale
Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches.
Inégalités et loi de Poisson
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\) ...
Jeu de boules
Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à ...
Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...
Jeu et suite
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, il a une probabilité de ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Logistique d’un dépôt
Un dépôt de ravitaillement reçoit chaque jour un certain nombre de camions de livraison. Ce nombre est modélisé par une variable aléatoire d’espéra ...
Loi binomiale et approximation normale
Une entreprise fabrique en grande série des capteurs. La probabilité qu’un capteur soit défectueux est ...
Loi binomiale sur tableur
Créer sur tableur la table des probabilités et des probabilités cumulées de \(\mathcal B(100,0{,}4)\), puis le dia ...
Loi conjointe
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles et soient ...
Loi d'un couple
On considère un fast food muni de \(N\) comptoirs. Le nombre de personnes se présentant en une heure au fast food ...
Loi d'un couple
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles discrètes dont la loi de ...
Loi d'un couple
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \prob)\) un espace probabilisé. On considère deux variables aléatoires discrètes ...
Loi d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires discrètes tel que : l’ensemble des valeurs prises par ...
Loi d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 3,4,5 et 6.
Loi d'une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\{3,4,5,6\}\) te ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Loi jointe et indépendance d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X, Y)\) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
...Lois de probabilité, simulation
La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle ...
Lois usuelles
Un examen comporte un écrit et un oral.
Majoration de probabilité
Le nombre de sodas vendus journellement par une machine sur un quai de métro suit une loi d’espérance \(100\) et d ...
Marche aléatoire
On considère un carré ABCD et son centre de gravité O. On note \(\mathcal{E} = \{A,B,C,D,O\}.\). Une puce se dépla ...
Modélisation avec des estimateurs
Lors d’une élection, un candidat a obtenu 65% des voix. On considère deux échantillons de votants.
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...
Probabilité bayésienne
Un poison vient d’être ingéré par une personne. L’examen des lieux laisse penser que trois poisons \(p_1\), ...
Probabilité conditionnelle et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
...Probabilité d'événements
Soit \((\Omega, \mathcal{T}, \prob)\) un espace probabilisé et trois événements ...
Probabilités conditionnelles et indépendance
Une entreprise fabrique des cartes graphiques. Deux ateliers de fabrication se répartissent la production d’une journée de la façon suivante : l’at ...
Probabilités conditionnelles et prise de décision
Vous êtes un mage perdu dans les marais maudits et une créature des ténèbres arrive. Il vous faut un certain temps pour invoquer un sort d’attaque ...
Probabilités et divisibilité
Soit un entier \(n\) naturel non nul et non premier. On note ...
Problème de clés
Reconnaître une loi usuelle et ses paramètres
Pour chaque situation, indiquer la loi de probabilité la plus adaptée et préciser ses paramètres. On justifiera brièvement chaque réponse.
Répartition des ressources militaires
Un bataillon militaire dispose de deux types de véhicules : des véhicules blindés (notés \(X\)) et des drones de r ...
Réseau de transmissions
Un poste de commandement dessert \(5\,000\) terminaux de communication (véhicules, unités mobiles, postes radio). ...
Saturation d'un standard téléphonique
Une entreprise compte \(300\) employés. Chaque employé utilise son téléphone de manière aléatoire, en moyenne ...
Simulation de loi : Rademacher, Laplace, Géométrique
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rad ...